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@Lia Hola Lia, ahí desarrollé más para que se entienda. :D
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@Mora Hola Mora, ¡Muy atenta! Ahí desarrollé más para que se entienda.
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@Macarena En las respuestas del ejercicio. Marca la asíntota, los máximos y mínimos. Y bueno, es un gráfico aproximado. Si querés más detalle o hacerlo más lindo podés agarrar la función y hacer una tabla de valores, reemplazando valores de x en la función y marcando esos puntos.
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
9.
Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales y el valor de la función en los mismos. Determinar las asíntotas verticales y horizontales. Hacer un gráfico aproximado de $f$.
a) $f(x)=\frac{x^{2}}{x-1}$
a) $f(x)=\frac{x^{2}}{x-1}$
Respuesta
Resolvemos tal como vimos en el video de estudio de funciones usando la derivada del curso.
1. Calculemos el dominio de la función
\( f(x) \) no está definida cuando el denominador es cero, porque tenemos una división con \( x \).
$ x - 1 = 0 $
$ \text{Dom}(f) = \mathbb{R} - \{1\} $
2. Hallamos la derivada de la función
$ f(x) = \frac{x^{2}}{x-1} $
$ f'(x) = \frac{(x^2)'(x - 1) - (x^2)(x - 1)'}{(x - 1)^2} $
$ f'(x) = \frac{2x(x - 1) - x^2 \cdot 1}{(x - 1)^2} $
$ f'(x) = \frac{2x^2 - 2x - x^2}{(x - 1)^2} $
$ f'(x) = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} $
3. Buscamos los puntos críticos:
3.1. Buscamos los valores del dominio de \( f \) donde la derivada no está definida, comparando los dominios de ambas:
El \( \text{Dom}(f) = \text{Dom}(f') = \mathbb{R} - \{1\} \). No obtuvimos puntos críticos de acá.
3.2. Buscamos los valores donde la derivada se hace cero:
Igualamos la derivada a cero:
$ x^2 - 2x = 0 $
Factorizando por factor común, obtenemos:
$ x(x - 2) = 0 $
$ x = 0 $ y $ x = 2 $
4. Usamos Bolzano (con el dominio y los PCs) para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Evaluamos la derivada \( f'(x) \) en cada intervalo:
-> Para \( x \) en Intervalo \( (-\infty, 0) \): \( f'(-1) = \frac{(-1)^2 - 2(-1)}{((-1) - 1)^2} = \frac{1 + 2}{4} = \frac{3}{4} > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (0, 1) \): \( f'(0.5) = \frac{(0.5)^2 - 2(0.5)}{(0.5 - 1)^2} = \frac{0.25 - 1}{0.25} = \frac{-0.75}{0.25} = -3 < 0 \). Es decir que \( f \) decrece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (1, 2) \): \( f'(1.5) = \frac{(1.5)^2 - 2(1.5)}{(1.5 - 1)^2} = \frac{2.25 - 3}{0.25} = \frac{-0.75}{0.25} = -3 < 0 \). Es decir que \( f \) decrece.
-> Para \( x \) en Intervalo \( (2, +\infty) \): \( f'(3) = \frac{3^2 - 2 \cdot 3}{(3 - 1)^2} = \frac{9 - 6}{4} = \frac{3}{4} > 0 \). Es decir que \( f \) crece.
5. Evaluamos los máximos y mínimos
Los puntos \( x = 0 \) y \( x = 2 \) son puntos críticos. Analizando el cambio de signo de la derivada:
-> \( x = 0 \): Es un máximo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de positivo a negativo.
-> \( x = 2 \): Es un mínimo relativo ya que \( f'(x) \) pasa de negativo a positivo.
Podemos hallar las coordenadas del máximo y del mínimo sustituyendo los valores de \( x \) en la función \( f(x) \):
$ f(0) = \frac{0^2}{0 - 1} = 0 $
$ f(2) = \frac{2^2}{2 - 1} = \frac{4}{1} = 4 $
6. Asíntotas
6.1. Asíntota vertical:
Hay una asíntota vertical en \( x = 1 \) ya que la función no está definida en ese punto y \( f(x) \) tiende a infinito cuando \( x \) se acerca a 1.
6.2. Asíntota horizontal:
$ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x - 1} = \frac{\infty}{\infty}$
Salvamos la indeterminación y nos queda:
$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{1-\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} x = \infty $
No hay asíntota horizontal.
Respuesta:
Dominio: \( \mathbb{R} - \{1\} \)
Intervalo de crecimiento: \( (-\infty, 0) \cup (2, +\infty) \)
Intervalo de decrecimiento: \( (0, 1) \cup (1, 2) \)
Asíntota vertical: \( x = 1 \)
Máximo relativo en \( x = 0 \) con coordenada \( (0, 0) \)
Mínimo relativo en \( x = 2 \) con coordenada \( (2, 4) \)
El gráfico queda así:
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Julieta
PROFE
17 de junio 10:26
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Mora
8 de junio 16:21
Hola profe, no entiendo lo de la asintota horizontal, no hay q salvar ninguna indeterminacion?
Julieta
PROFE
17 de junio 10:26
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Julieta
PROFE
8 de junio 7:59
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